10180. MA
и MB
— касательные к окружности \Omega
с центром O
; C
— точка внутри окружности, лежащая на дуге AB
окружности с центром в точке M
радиуса MA
. Докажите, что отличные от A
и B
точки пересечения прямых AC
и BC
с окружностью \Omega
лежат на противоположных концах одного диаметра.
Решение. Пусть лучи AC
и BC
пересекают окружность \Omega
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Обозначим через \alpha
и \beta
углы при основании равнобедренных треугольников AOA_{1}
и BOB_{1}
соответственно. Треугольник AMC
равнобедренный, поэтому
\angle ACM=\angle CAM=\angle CAO-\angle OAC=90^{\circ}-\alpha.
Аналогично \angle BCM=90^{\circ}-\beta
. Тогда
\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB=\angle ACM+\angle BCM=
=(90^{\circ}-\alpha)+(90^{\circ}-\beta)=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Сумма углов четырёхугольника A_{1}CB_{1}O
равна 360^{\circ}
(см. задачу 1198), поэтому его угол A_{1}OB_{1}
равен
360^{\circ}-\angle CA_{1}O-\angle CB_{1}O-\angle A_{1}CB_{1}=
=360^{\circ}-\alpha-\beta-(180^{\circ}-\alpha-\beta)=180^{\circ}.
Значит, центр O
окружности \Omega
лежит на отрезке A_{1}B_{1}
. Следовательно, A_{1}B_{1}
— диаметр этой окружности.
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 1967, XVII, 8-9 классы