1019. В прямоугольную трапецию ABCD
вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину D
острого угла и центр окружности, пересекает меньшую боковую сторону AB
в точке M
. Докажите, что отрезок AM
равен меньшему основанию трапеции.
Решение. Обозначим \angle ADC=\alpha
. Пусть O
— центр окружности. Тогда AO
, BO
, CO
и DO
— биссектрисы углов трапеции, поэтому
\angle CBO=\angle ABO=\angle OAD=\angle MAO=45^{\circ},~
треугольники AOB
и COD
— прямоугольные (см. задачу 313), причём треугольник AOB
— равнобедренный, OA=OB
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOM=\angle OAD+\angle ODA=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Тогда
\angle BOC=180^{\circ}-\angle CBO-\angle BCO=180^{\circ}-45^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Таким образом, треугольники AOM
и BOC
равны по стороне (OA=OB
) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AM=BC
.