10190. Треугольник ABC
вписан в окружность. Через вершину C
проведена касательная к этой окружности, пересекающая прямую BA
в точке D
, причём точка B
лежит между A
и D
; AB=7{,}5
, CD=15\sqrt{\frac{3}{2}}
.
а) Докажите, что BD=2AB
.
б) Из вершин A
и B
на касательную CD
опущены перпендикуляры, меньший из которых равен 9. Найдите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной AB
и отрезком касательной.
Ответ. 67,5.
Решение. а) По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93) BD(BD+AB)=CD^{2}
, или BD\left(BD+\frac{15}{2}\right)
. Отсюда находим, что BD=15=2AB
.
б) Пусть M
и K
— проекции точек соответственно B
и A
на прямую CD
, BM=9
. Прямоугольный треугольник AKD
подобен прямоугольному треугольнику BMD
с коэффициентом \frac{BD}{AD}=\frac{3}{2}
, поэтому
AK=\frac{3}{2}BM=\frac{27}{2}.
Пусть BH
— высота прямоугольной трапеции AKMB
. Тогда
AH=AK-KH=AK-BM=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2},
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}}=6.
Следовательно,
S_{AKBM}=\frac{BM+AK}{2}\cdot BH=\frac{9+\frac{27}{2}}{2}\cdot6=\frac{135}{2}=67{,}5.