10192. Докажите, что площадь треугольника можно вычислить по формуле
S=4Rr\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},
где R
и r
— радиусы соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника, а \alpha
, \beta
и \gamma
— его углы.
Указание. См. задачу 3225в.
Решение. Пусть p
— полупериметр треугольника. Применив формулу
\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{4R}
(см. задачу 325в), получим
S=pr=4R\left(\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\right)r=4Rr\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.
Что и требовалось доказать.