10195. Докажите, что если S
— площадь треугольника, что
S=\frac{p^{2}}{\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}},
где p
— полупериметр треугольника, а \alpha
, \beta
и \gamma
— его углы.
Указание. См. задачу 3249а.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника. Применив формулу
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{r}
(см. задачу 3249а), получим
S=pr=p\cdot\frac{p}{\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}}=\frac{p^{2}}{\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.18, с. 33