3249. Пусть
\alpha
,
\beta
и
\gamma
— величины углов треугольника, противолежащих сторонам, равным
a
,
b
и
c
соответственно,
p
— полупериметр треугольника,
r
— радиус вписанной окружности,
r_{a}
,
r_{b}
и
r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон, равных
a
,
b
и
c
соответственно. Докажите, что:
\mbox{а)}~\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p}{r};~\mbox{б)}~\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}\right).

Указание. Докажите равенства
a=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right);~a=r_{a}\left(\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).

Решение. а) Сложив почленно равенства
a=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right),~b=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right),~c=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)

(см. задачу 3241), получим, что
a+b+c=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)+r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)+\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)=

=r\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right)=

=2r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right).

Следовательно,
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{a+b+c}{2r}=\frac{p}{r}.

Что и требовалось доказать.
См. также решение задачи 11289.
б) Сложив почленно равенства
\frac{a}{r_{a}}=\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2},~\frac{b}{r_{b}}=\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2},~\frac{c}{r_{c}}=\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}

(см. задачу 3241), получим, что
\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}=\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}=

=2\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\right).

Следовательно,
\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{r_{a}}+\frac{b}{r_{b}}+\frac{c}{r_{c}}\right).

Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.44, с. 304
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.47, с. 293