11289. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— углы при вершинах соответственно A
, B
, C
треугольника ABC
. Докажите, что
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, p
— полупериметр треугольника ABC
, S
— площадь, BC=a
, AC=b
, AB=c
.
Пусть вписанная окружность треугольника касается стороны AB
в точке T
. Тогда AT=p-a
(см. задачу 219), а так как AI
— биссектриса угла BAC
(см. задачу 1724) и IT\perp AB
, то
\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{AT}{IT}=\frac{p-a}{r}.
Аналогично,
\ctg\frac{\beta}{2}=\frac{p-b}{r},~\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p-c}{r}.
Значит,
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p-a}{r}+\frac{p-b}{r}+\frac{p-c}{r}=
=\frac{3p-2p}{r}=\frac{p}{r}.
С другой стороны,
\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}=\frac{p-a}{r}\cdot\frac{p-b}{r}\cdot\frac{p-c}{r}=
=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{r^{3}}=\frac{S^{2}}{pr^{3}}=\frac{p^{2}r^{2}}{pr^{3}}=\frac{p}{r}
(так как S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)
— формула Герона, см. задачу 730, и S=pr
, см. задачу 452). Следовательно,
\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}=\ctg\frac{\alpha}{2}\ctg\frac{\beta}{2}\ctg\frac{\gamma}{2}.
Примечание. 1. Заменив углы \frac{\alpha}{2}
, \frac{\beta}{2}
, \frac{\gamma}{2}
на 90^{\circ}-\alpha
, 90^{\circ}-\beta
, 90^{\circ}-\gamma
(каждая из сумм углов равна 90^{\circ}
), получим, что
\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\tg\beta\tg\gamma.
2. См. статью Г.Филипповского «Замечательные точки треугольника и тригонометрия», Квант, 2010, N4, с.31, 34-35.