10199. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
углы B
и D
равны, CD=4BC
, а биссектриса угла A
проходит через середину стороны CD
. Чему может быть равно отношение AD:AB
?
Ответ. 2:3
.
Решение. Первый способ. Обозначим через M
середину стороны CD
. Рассмотрим на луче AB
точку K
, симметричную точке D
относительно прямой AM
. Поскольку
\angle ABC=\angle ADM=\angle AKM,
то BC\parallel KM
, и точка K
лежит на отрезке AB
. Поскольку CM=DM=KM
, то \angle DKC=90^{\circ}
(см. задачу 1188) и KC\parallel AM
. Значит,
\angle MAK=\angle CKB,~\angle AKM=\angle KBC.
Треугольники AKM
и KBC
подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен
k=\frac{KM}{BC}=\frac{CM}{BC}=2,
поэтому AD=AK=2KB
. Следовательно, AD:AB=2:3
.
Второй способ (А.М.Лавров). Пусть M
— середина стороны CD
, а прямые BC
и AM
пересекаются в точке E
. Тогда
\angle AMD=180^{\circ}-\angle DAM-\angle ADM=180^{\circ}-\angle BAE-\angle ABE=\angle AEB=\angle CME,
Значит, CE=CM=2BC
и BE=3BC
.
Поскольку \angle AEB=\angle CME=\angle AMD
, треугольники ABE
и ADM
подобны по двум углам, следовательно
\frac{AD}{AB}=\frac{DM}{BE}=\frac{2BC}{3BC}=\frac{2}{3}.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2010, II, 8 класс