10204. Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 5, а её боковые стороны равны 6 и 8. Найдите расстояние между серединами оснований.
Ответ. 5.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция, M
и K
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно, P
и Q
— середины оснований BC
и AD
соответственно.
Первый способ. Четырёхугольник MPKQ
— параллелограмм (рис. 1), а треугольник MPK
со сторонами MK=5
, PM=\frac{1}{2}AB=3
и PK=\frac{1}{2}CD=5
— прямоугольный с прямым углом при вершине P
. Значит, MPKQ
— прямоугольник. Следовательно, PQ=MK=5
.
Второй способ. Пусть прямые PM
и PK
пересекают основание AD
в точках E
и F
соответственно (рис. 2). Из теоремы о средней линии треугольника следует, что PE\parallel AB
и PF\parallel CD
.
Треугольник MPK
со сторонами MK=5
, PM=\frac{1}{2}AB=3
и PK=\frac{1}{2}CD=5
— прямоугольный с прямым углом при вершине P
. Значит, треугольник EPF
— также прямоугольный с катетами 6, 8 и гипотенузой 10. При этом PQ
— его медиана, проведённая из вершины прямого угла (см. задачу 1227). Следовательно, PQ=\frac{1}{2}EF=5
.
Источник: Московская математическая регата. — 2000-2001, 8 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 29, задача 4.2