10209. В прямоугольном треугольника ABC
с гипотенузой AB=c
проведена высота CH
; K
— середина катета BC
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки C
, H
и K
.
Ответ. \frac{c}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина гипотенузы AB
. Тогда CM=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}
(см. задачу 1109) и MK\perp BC
как средняя линия прямоугольного треугольника ABC
.
Из точек H
и K
отрезок CM
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром CM
. Эта окружность описана около треугольника CHK
, а её радиус равен половине диаметра CM
, т. е. \frac{c}{4}
.
Источник: Московская математическая регата. — 1999-2000, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 40, задача 4.2