10210. Дан тупоугольный треугольник ABC
. На стороне AC
, лежащей против тупого угла, укажите такие точки D
, что отрезок BD
является средним геометрическим отрезков AD
и CD
.
Решение. Опишем окружность около треугольника ABC
. Пусть M
— произвольная точка отрезка AC
. На продолжении отрезка BM
за точку M
отложим отрезок MK=BM
. Тогда точка M
лежит внутри окружности, так как угол ABC
тупой.
Через точку K
проведём хорду P_{1}P_{2}
, параллельную AC
. Пусть D_{1}
и D_{1}
— точки пересечения хорд соответственно BP_{1}
и BP_{2}
со стороной AC
данного треугольника. Из теоремы Фалеса следует, что D_{1}
и D_{2}
— середины хорд BP_{1}
и BP_{2}
. Тогда (см. задачу 2627)
AD_{1}\cdot D_{1}C=BD_{1}\cdot D_{1}P_{1}=BD_{1}^{2},~AD_{2}\cdot D_{2}C=BD_{2}\cdot D_{2}P_{2}=BD_{2}^{2},
т. е. точки D_{1}
и D_{2}
удовлетворяют требуемому условию.
Докажем, что других таких точек нет. Действительно, пусть для какой-нибудь точки X
отрезка AC
верно равенство BX^{2}=AX\cdot CX
, а луч BX
пересекает окружность в точке Y
. Тогда XY\gt BX
, так как угол ABC
тупой. Поскольку BX\cdot XY=AX\cdot CX
, то BX=XY
, что невозможно.
Источник: Московская математическая регата. — 1999-2000, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 40, задача 4.2