10212. A
и B
— фиксированные точки плоскости. Найдите геометрическое место точек этой плоскости, для которых выполняется условие: ABM
— наибольший из углов треугольника ABC
.
Ответ. Пересечение содержащей точку B
полуплоскости, граница которой — серединный перпендикуляр к отрезку AB
, и внешности окружности радиуса AB
с центром A
без точек прямой AB
.
Решение. Будем считать, что ABM
— строго наибольший угол треугольника ABM
, т. е. \angle ABM\gt\angle AMB
и \angle ABM\gt\angle BAM
.
Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона, поэтому AM\gt BM
и AM\gt AB
. Из первого неравенства следует, что точка M
лежит в содержащей точку B
полуплоскости, граница которой есть серединный перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 1798), а из второго — что точка M
лежит вне окружности радиуса AB
с центром A
, но не прямой AB
,
Следовательно, точка M
принадлежит пересечению этих двух множеств — полуплоскости и внешности окружности без точек прямой AB
.
Пусть теперь точка M
принадлежит указанной фигуре. Очевидно, что все условия для неё выполняются.
Источник: Московская математическая регата. — 2001-2002, 9 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 43, задача 4.2