10224. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AA'
, BB'
и CC'
. Точки A''
, B''
и C''
— середины отрезков B'C'
, C'A'
и A'B'
соответственно. Докажите, что прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
. По теореме о биссектрисе треугольника (см. задачу 1509)
BA'=\frac{ac}{b+c},~CA'=\frac{ab}{b+c},~CB'=\frac{ab}{a+c},~AB'=\frac{bc}{a+c},
AC'=\frac{bc}{a+b},~BC'=\frac{ac}{a+b}.
По теореме синусов
\frac{A''B'}{AB'}=\frac{\sin\angle A''AB'}{\sin\angle AA''B'},~\frac{A''C'}{AC'}=\frac{\sin\angle A''AC'}{\sin\angle AA''C'},
а так как A''B'=A''C'
и \sin\angle AA''B'=\sin\angle AA''C'
, то
\frac{\sin\angle A''AB'}{\sin\angle A''AC'}=\frac{AC'}{AB'}=\frac{\frac{bc}{a+b}}{\frac{bc}{a+c}}=\frac{a+c}{a+b}.
Аналогично,
\frac{\sin\angle B''BC'}{\sin\angle B''BA'}=\frac{a+b}{b+c},~\frac{\sin\angle C''CA'}{\sin\angle C''CB'}=\frac{b+c}{a+c}.
Тогда
\frac{\sin\angle A''AB'}{\sin\angle A''AC'}\cdot\frac{\sin\angle B''BC'}{\sin\angle B''BA'}\cdot\frac{\sin\angle C''CA'}{\sin\angle C''CB'}=\frac{a+c}{a+b}\cdot\frac{a+b}{b+c}\cdot\frac{b+c}{a+c}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (тригонометрическая форма) прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1989, № 2, задача 1307 (1988, с. 321), с. 58