1509. Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Указание. Через одну из вершин основания проведите прямую, параллельную противолежащей стороне треугольника, и продолжите биссектрису до пересечения с этой прямой.
Решение. Первый способ. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
(рис. 1). Проведём через вершину A
прямую, параллельную BC
, и продолжим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке K
. Поскольку \angle ACK=\angle KCB=\angle CKA
, то треугольник CAK
— равнобедренный, AK=AC
.
Из подобия треугольников ADK
и BDC
следует, что AK:BC=AD:DB
, а так как AK=AC
, то AC:BC=AD:DB
.
Второй способ. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
(рис. 1). По теореме синусов из треугольников ACD
и BCD
находим, что
\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{AC}{\sin\angle ADC},~\frac{DB}{\sin\angle BCD}=\frac{BC}{\sin\angle BDC}.
Разделим почленно полученные равенства друг на друга. Поскольку
\sin\angle ACD=\sin\angle BCD,~\sin\angle ADC=\sin\angle BDC,
то \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}
.
Третий способ. Пусть CD
— биссектриса треугольника ABC
(рис. 2). Обозначим через h_{1}
и h_{2}
— высоты треугольников ADC
и BDC
, проведённые из вершины D
. Тогда
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot h_{1}=\frac{1}{2}AD\cdot DC\cdot\sin\angle ADC,
S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}BC\cdot h_{2}=\frac{1}{2}BD\cdot DC\cdot\sin\angle BDC.
Разделим почленно полученные равенства друг на друга. Поскольку
\sin\angle ADC=\sin\angle BDC,~h_{1}=h_{2},
то \frac{AD}{DB}=\frac{AC}{CB}
.
Примечание. 1. Аналогичное утверждение верно и для биссектрисы внешнего угла треугольника (см. задачу 1645).
2. Верно также и обратное утверждение: если точка D
, лежащая на прямой AB
, делит отрезок AB
(внутренним или внешним образом) на отрезки, пропорциональные сторонам AC
и BC
треугольника ABC
, то CD
— биссектриса внутреннего или внешнего угла треугольника ABC
(см. задачу 1510).
3. См. также статью С.Р.Сефибекова «Четыре доказательства теоремы о биссектрисах», Квант, 1983, N8, с.37.
4. См. также статью Б.Ивлева «Ещё 13 доказательств теоремы о биссектрисе», Квант, 1985, N2, с.29-30.