10230. На сторонах AB
, BC
, CA
правильного треугольника ABC
взяты точки P
, Q
, R
так, что AP:PB=BQ:QC=CR:RA=2:1
. Докажите, что стороны треугольника PQR
перпендикулярны сторонам треугольника ABC
.
Решение. Пусть стороны треугольника ABC
равны a
. Проведём высоту AH
треугольника ABC
. Тогда H
— середина стороны BC
, поэтому
\frac{CQ}{QH}=\frac{\frac{1}{3}a}{\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}a}=2=\frac{CR}{RA}.
Значит, RQ\parallel AH
. Следовательно, RQ\perp BC
. Аналогично для двух других сторон треугольника PQR
.
Примечание. Из равенства прямоугольных треугольников CRQ
, BPQ
и APR
(по гипотенузе и острому углу) следует, что треугольник PQR
тоже правильный. Верно и обратное утверждение: если стороны треугольника PQR
перпендикулярны сторонам правильного треугольника ABC
, то треугольник PQR
тоже правильный, а точки P
, Q
, R
делят стороны треугольника ABC
в отношении 2:1
(см. задачу 1670).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4, с. 102