10240. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABD
. Найдите наименьшее значение BD
, если AI=BC=CD=2
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Из условия задачи следует равенство дуг BC
и CD
, значит, биссектриса AI
угла BAD
пересекает окружность в точке C
. По теореме о «трилистнике» (см. задачу 788) CI=CB=CD=2
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть K
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точек C
и I
на BD
и AD
соответственно (рис. 1). Тогда из равенства прямоугольных треугольников BKC
и ANI
следует, что CK=IN
. Перпендикуляр IP
к диагонали BD
также равен IN
(это радиусы вписанной окружности треугольника ABD
), поэтому BD
пересекает отрезок CI
в его середине L
. Таким образом, CL=IL=1
. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627) BL\cdot DL=AL\cdot CL
.
Пусть BL=x
, DL=y
. Тогда xy=3
. Из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим следует, что наименьшее значение суммы x+y
достигается, если x=y=3
. Следовательно, значение BD=2\sqrt{3}
— наименьшее из возможных.
Второй способ. По теореме Птолемея: AD\cdot BC+AB\cdot CD=AC\cdot BD
, т. е. 2AD+2AB=4BD
. Следовательно, BD=\frac{AB+AD}{2}
(треугольник ABD
, обладающий таким свойством называется разностным (см. задачу 6100).
Без ограничения общности можно считать, что AB\geqslant AD
. Проведём окружность с центром C
и радиусом 2, которая пересечёт сторону AB
в точке E
(рис. 2). Биссектриса AC
угла BAD
является её осью симметрии и осью симметрии угла, значит, точки E
и D
симметричны относительно прямой AC
. Следовательно, AE=AD
.
По теореме о произведении отрезков секущих AE\cdot AB=AI\cdot AF
(IF
— диаметр построенной окружности). Следовательно, AD\cdot AB=2\cdot6=12
. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим
BD=\frac{AB+AD}{2}\geqslant\sqrt{AB\cdot AD}=2\sqrt{3}.
Равенство достигается, если AB=AD
.
Примечание. Отметим, что условие AI=IC
(в обозначениях этой задачи), доказанное в первом способе решения, является характеристическим свойством разностных треугольников (см. задачу 6100).
Полученный результат показывает, что в таких треугольниках наименьшее значение длины стороны BD
при заданном значении длины AI
достигается, если треугольник ABD
равносторонний, а точка I
совпадает с центром его описанной окружности.