10245. В треугольнике ABC
проведена медиана AM
. Найдите высоту AH
, если AM=m
, BC=a
и \angle ABC=\alpha
.
Ответ. \frac{(4m^{2}-a^{2})\tg\alpha}{4a}
.
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4m^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2},
откуда
b^{2}+c^{2}=\frac{4m^{2}+a^{2}}{2}.
По теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=\frac{4m^{2}+a^{2}}{2}-2bc\cos\alpha,
откуда
bc=\frac{4m^{2}+a^{2}}{4\cos\alpha}.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
. Тогда
S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc\sin\alpha.
Следовательно,
h=\frac{bc\sin\alpha}{a}=\frac{\frac{4m^{2}+a^{2}}{4\cos\alpha}\cdot\sin\alpha}{a}=\frac{(4m^{2}-a^{2})\tg\alpha}{4a}.