10248. Дан треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Построены три круга радиусами 1 с центрами в вершинах треугольника. Найдите суммарную площадь частей кругов, заключённых внутри треугольника.
Ответ. \frac{\pi}{2}
.
Решение. Данный треугольник прямоугольный, так как
3^{2}+4^{2}=16+9=25=5^{2}.
Из условия задачи также следует, что построенные круги не пересекаются. Кроме того, высота данного прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна \frac{3\cdot4}{5}\gt1
(см. задачу 1967), значит, каждая часть круга, лежащая внутри треугольника, является сектором радиуса 1, центральный угол которого совпадает с углом треугольника. Поскольку сумма углов треугольника равна, суммарная площадь этих секторов равна площади половины единичного круга, то есть равна \frac{\pi}{2}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2014-2015, первый тур, № 2, 10 класс