10251. В квадрате ABCD
на стороне BC
взята точка M
, а на стороне CD
— точка N
так, что \angle MAN=45^{\circ}
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника AMN
, принадлежит диагонали AC
.
Решение. Первый способ. Проведём окружность с диаметром MN
, описанную около треугольника CMN
(рис. 1). Пусть она пересекает диагональ AC
в точке O
. Докажем, что O
— центр окружности, описанной около треугольника AMN
. Действительно, так как CO
— биссектриса угла MCN
, то OM=ON
, а так как \angle MAN=\frac{1}{2}\angle MON
, то окружность с центром O
, которая проходит через точки M
и N
, содержит также и точку A
.
Второй способ. Точка A
лежит на биссектрисе угла C
треугольника MCN
и
\angle MAN=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MCN,
то A
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
(рис. 2). Пусть I
— центр окружности, вписанной в треугольник MCN
, O
— середина AI
. Описанная окружность треугольника MCN
делит пополам отрезок AI
(см. задачу 57), т. е. проходит через точку O
, а так как OI=OM=ON
(см. задачу 788), то OA=OM=ON
. Следовательно, точка O
, лежащая на AC
, — центр описанной окружности треугольника AMN
.
Примечание. 1. Верно и обратное: см. задачу 10883.
2. См. статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Угол в квадрате», Квант, 2014, N4, с.34-37.