10254. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AA_{1}
. Докажите, что серединный перпендикуляр к AA_{1}
, перпендикуляр к BC
, проходящий через точку A_{1}
, и прямая AO
(O
— центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть перпендикуляр к BC
, проходящий через точку A_{1}
, пересекает AO
в точке Q
. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Проведём высоту AH
треугольника ABC
, а через точку A_{1}
— прямую, параллельную AO
и пересекающую высоту в точке P
(рис. 1). Тогда четырёхугольник APA_{1}Q
— параллелограмм. Этот параллелограмм является ромбом, так как AO
и AH
симметричны относительно биссектрисы AA_{1}
(см. задачу 20), т. е. диагональ AA_{1}
параллелограмма APA_{1}Q
является биссектрисой его угла. Следовательно, прямая PQ
— серединный перпендикуляр к отрезку AA_{1}
, т. е. три прямые, указанные в условии задачи, пересекаются в точке Q
.
Второй способ. Продлим биссектрису AA_{1}
до пересечения с окружностью, описанной около треугольника ABC
, в точке W
(рис. 2). Пусть K
— середина AW
. Тогда OW\perp BC
и серединный перпендикуляр OK
к отрезку AW
содержит диаметр окружности.
Поскольку A_{1}Q\parallel WO
, при гомотетии с центром A
, переводящей точку O
в точку Q
, образом точки W
является точка A_{1}
. Следовательно, образ прямой OK
при этой гомотетии — прямая, проходящая через точку Q
перпендикулярно AA_{1}
, причём образ точки K
— середина N
отрезка AA_{1}
. Таким образом, три прямые, указанные в условии задачи, пересекаются в точке Q
.