10255. В треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
. Точка D
внутри треугольника такова, что \angle ADB=\angle ADC=\angle BDC
. Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC
, если BD=a
.
Ответ. \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
\angle ADB=\angle ADC=\angle BDC=120^{\circ}.
Из треугольника ABD
получаем, что
\angle DAB+\angle DBA=60^{\circ},
а так как по условию
\angle DBC+\angle DBA=60^{\circ},
то \angle DAB=\angle DBC
. Следовательно, треугольники DAB
и DBC
подобны. Тогда \frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}
, т. е.
AD\cdot CD=BD^{2}=a^{2}.
Значит,
S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AD\cdot CD\sin120^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},
т. е. эта величина постоянная. Таким образом, площадь треугольника ABC
будет наименьшей, если наименьшей будет сумма площадей треугольников ADB
и BDC
.
Заметим, что произведение этих величин постоянно:
S_{\triangle ADB}\cdot S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}AD\cdot BD\sin\angle ADB\cdot\frac{1}{2}BD\cdot CD\sin\angle BDC=
=\frac{1}{4}BD^{4}\sin^{2}120^{\circ}=\frac{3a^{4}}{16}.
Тогда из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим следует, что их сумма принимает наименьшее значение, если эти площади равны, т. е.
S_{\triangle ADB}=S_{\triangle BDC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, искомое значение
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDC}=\frac{3a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Примечание. Отметим, что из полученного равенства S_{\triangle ADB}=S_{\triangle BDC}
следует, что AD=CD
. Тогда из того, что AD\cdot CD=BD^{2}
, следует, что BD=AD=CD
, т. е. наименьшую площадь имеет равносторонний треугольник ABC
, а точка D
— его центр.
Отметим также, что точка, из которой стороны треугольника видны под углами 120^{\circ}
называется точкой Торичелли. Если все углы треугольника меньше, чем 120^{\circ}
, то сумма расстояний от этой точки до вершин треугольника — наименьшая из возможных (см. задачу 6700).
Подробнее см., например, В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. Том 1. В.Ю.Протасов. Максимумы и минимумы в геометрии.