10264. Треугольник ABC
вписан в окружность. Точка X
— середина дуги AB
, не содержащей вершину C
, а точка Y
— середина дуги BC
, не содержащей вершину A
. Прямая XY
пересекает стороны треугольника в точках K
и L
. Точка I
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Докажите, что BKIL
— ромб.
Решение. Пусть точки K
и L
расположены на сторонах соответственно AB
и BC
треугольника ABC
. Лучи AY
и CX
— биссектрисы углов A
и C
данного треугольника, значит, I
— точка их пересечения, а луч BI
— биссектриса угла ABC
. Вписанные углы AYX
и BYX
равны, так как равны дуги XA
и XB
, на которые эти углы опираются. Аналогично, \angle CXY=\angle BXY
. Следовательно, треугольники XYI
и XYB
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда XI=XB
и YI=YB
, поэтому XY
— серединный перпендикуляр к отрезку BI
(см. задачу 1129).
Пусть O
— точка пересечения BI
и KL
. Тогда биссектриса BO
треугольника KBL
является его высотой. Значит, BO
— медиана равнобедренного треугольника KBL
, т. е. O
— середина KL
.
Таким образом, в четырёхугольнике BKIL
диагонали перпендикулярны точкой O
пересечения делятся пополам. Следовательно, этот четырёхугольник — ромб.
Примечание. Отметим, что попутно были практически доказаны ещё два факта, имеющие широкое применение при решении задач.
1) В рассмотренной конфигурации выполняется равенство XA=XB=XI
(теорема о «трилистнике», см. задачу 788).
2) Высоты треугольника XYZ
, где Z
— середина дуги AC
, лежат на тех же прямых, что и биссектрисы треугольника ABC
(см. задачу 33), а центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, является ортоцентром треугольника XYZ
.