10275. Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого каждая диагональ не больше, чем любая сторона?
Ответ. Не существует.
Решение. Первый способ. Поскольку сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360^{\circ}
, в любом выпуклом четырёхугольнике ABCD
хотя бы один угол не меньше, чем 90^{\circ}
. Пусть, например, это угол ABC
. Тогда в треугольнике ABC
сторона AC
(диагональ четырёхугольника) является наибольшей стороной (см. задачу 3499), т. е. AC\gt AB
и AC\gt BC
. Таким образом, четырёхугольника, указанного в условии задачи, не существует.
Второй способ. Пусть O
— точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD
. Для каждого из треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
запишем неравенство треугольника:
OA+OB\gt AB,~OB+OC\gt BC,~OC+OD\gt CD,~OD+OA\gt DA.
Сложив эти неравенства почленно, получим, что
2(AC+BD)\gt AB+BC+CD+DA.
Если же предположить, что любая диагональ не больше любой из сторон, то
2(AC+BD)=AC+AC+BD+BD\leqslant AB+BC+CD+DA.
Полученное противоречие показывает, что искомого четырёхугольника не существует.
Источник: Московская математическая регата. — 2013-2014, 9 класс