10277. В треугольнике ABC
из вершин A
и B
проведены биссектрисы, а из вершины C
— медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 90^{\circ}
, 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, а его медиана CO
пересекает проведённые биссектрисы в точках K
и L
. Поскольку (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C\gt90^{\circ},
в полученном треугольнике KLI
угол при вершине I
прямым быть не может. Тогда из условия задачи следует, что \angle AIB=135^{\circ}
, поэтому \angle ACB=90^{\circ}
(см. задачу 4770). Следовательно, OC=OA=OB
(см. задачу 1109), т. е. треугольники AOC
и BOC
равнобедренные.
Без ограничения общности можно считать, что прямым в треугольнике KLI
является угол при вершине K
. Тогда в треугольнике BOC
высота BK
совпадает с биссектрисой, поэтому OB=BC
. Таким образом, треугольник BOC
равносторонний. Следовательно, \angle ABC=60^{\circ}
. Значит, \angle BAC=30^{\circ}
.
Источник: Московская математическая регата. — 2013-2014, 9 класс