10282. В остроугольном треугольнике ABC
проведены биссектриса AD
и высота BE
. Докажите, что \angle CED\gt45^{\circ}
.
Решение. Из точки D
опустим перпендикуляры DM
и DN
на прямые AC
и AB
соответственно. Луч AD
— биссектриса угла BAC
, поэтому DM=DN
(см. задачу 1138). Кроме того, оба перпендикуляра лежат внутри треугольника ABC
, поскольку треугольник остроугольный. Луч BE
проходит между сторонами угла ABC
, поэтому он пересекает отрезок DN
с концами на сторонах этого угла. Пусть F
— точка пересечения.
Проведём перпендикуляр DK
к высоте BE
. Тогда DMEK
— прямоугольник. Поскольку
DM=DN\gt DF\gt DK=DM,
то \angle CED\gt45^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Автор: Мурашкин М. В.
Источник: Московская математическая регата. — 2012-2013, 9 класс
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2005-06, XXXII, окружной этап, 9 класс
Источник: Агаханов Н. Х. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. 1993—2006. — М.: МЦНМО, 2007. — № 406, с. 53