10282. В остроугольном треугольнике ABC
проведены биссектриса AD
и высота BE
. Докажите, что \angle CED\gt45^{\circ}
.
Решение. Из точки D
опустим перпендикуляры DM
и DN
на прямые AC
и AB
соответственно. Луч AD
— биссектриса угла BAC
, поэтому DM=DN
(см. задачу 1138). Кроме того, оба перпендикуляра лежат внутри треугольника ABC
, поскольку треугольник остроугольный. Луч BE
проходит между сторонами угла ABC
, поэтому он пересекает отрезок DN
с концами на сторонах этого угла. Пусть F
— точка пересечения.
Проведём перпендикуляр DK
к высоте BE
. Тогда DMEK
— прямоугольник. Поскольку
DM=DN\gt DF\gt DK=DM,
то \angle CED\gt45^{\circ}
. Что и требовалось доказать.