10287. На плоскости дан квадрат и точка P
. Могут ли расстояния от точки P
до вершин квадрата оказаться равными 1, 1, 2 и 3?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть дан квадрат ABCD
. Рассмотрим два случая: равны расстояния от точки P
1) до соседних вершин квадрата; 2) до противоположных вершин квадрата.
Первый способ. 1) Пусть PA=PD=1
(рис. 1). Тогда точка P
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AD
, поэтому PB=PC
, что противоречит условию задачи.
2) Пусть PA=PC=1
. Тогда точка P
лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC
, т. е. на прямой BD
, и PB=2
. При этом, если точка P
лежит вне квадрата (рис. 2), то это противоречит тому, что угол ABP
тупой (AP
— не наибольшая сторона треугольника ABP
), а если точка P
внутри квадрата (рис. 3), то AC=BD=5
, что противоречит неравенству треугольника AC\lt PA+PC
.
Второй способ. Для любого прямоугольника ABCD
и произвольной точки P
верно равенство
PA^{2}+PC^{2}=PB^{2}+PD^{2}
(см. задачу 2169). При подстановке данных в полученное равенство можно убедиться в том, что ни один из двух случаев невозможен.
Автор: Адельшин А. В.
Источник: Московская математическая регата. — 2011-2012, 9 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск). — 2008-2009, № 3, 8 класс
Источник: Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина (Омск, 2007—2010) / Сост. А. В. Адельшин, Е. Г. Кукина, И. А. Латыпов, С. В. Усов, И. А. Чернявская, А. В. Шаповалов, А. С. Штерн. — М.: МЦНМО, 2011. — № 87, с. 21
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2008-2009, I, четвёртый традиционный тур, задача 3