10298. Дан квадрат ABCD
. Луч AE
пересекает сторону BC
, причём \angle BAE=30^{\circ}
, а \angle BCE=75^{\circ}
. Найдите угол CBE
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения луча AE
со стороной AE
. Поскольку \angle BCE=75^{\circ}\gt\angle BCD
, точка K
лежит на отрезке AE
. Тогда
\angle CKE=\angle AKB=60^{\circ},~\angle AEC=180^{\circ}-75^{\circ}-60^{\circ}=45^{\circ}.
Проведём окружность с центром B
и радиусом BA=BC
. Поскольку
\angle AEC=45^{\circ}=\frac{1}{2}\angle ABC,
точка E
лежит на этой окружности (см. задачу 2900). Значит, BE=BC
, т. е. треугольник CBE
равнобедренный. Следовательно,
\angle CBE=180^{\circ}-2\cdot75^{\circ}=30^{\circ}.
Источник: Московская математическая регата. — 2004-2005, 9 класс