10301. В трапеции ABCD
меньшее основание BC
равно боковой стороне CD
. Докажите, что если AD\gt2BC
, то угол ABD
тупой.
Решение. Через вершину B
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть M
— точка её пересечения с прямой AD
. Тогда BCDE
— параллелограмм, а так как BC=CD
— это ромб.
Отложим на луче EA
отрезок EM=DE=BE
. В треугольнике MBD
медиана BE
равна половине стороны DM
, значит, \angle MBD=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Поскольку
DM=DE+EM=2DE=2BC\lt AD,
точка M
лежит на отрезке AD
. Значит, луч BM
проходит между сторонами угла ABD
. Следовательно,
\angle ABD\gt\angle MBD=90^{\circ},
т. е. угол ABD
тупой.
Источник: Московская математическая регата. — 2002-2003, 9 класс