10308. Дана трапеция ABCD
с основанием AD
. Центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на прямой BD
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABD
лежит на прямой AC
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AB
, а серединный перпендикуляр к AB
пересекает BD
и AC
в точках K
и L
соответственно. Тогда L
— центр описанной окружности треугольника ABC
, ACB
— вписанный угол, а ALB
— соответствующий ему центральный угол. Из условия задачи следует, что
\angle BLK=\angle BLM=\frac{1}{2}\angle\angle BLA=\angle ACB=\angle CAD,
поэтому
\angle CAD+\angle DLK=\angle BLK+\angle(180^{\circ}-\angle BLK)=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник AKLD
вписанный. Следовательно, \angle CKL=\angle BDA
. Тогда
\angle AKB=2\angle AKM=2\angle CKL=2\angle BDA.
Значит, точка K
, лежащая на прямой AC
, — центр описанной окружности треугольника ABD
(см. задачу 2900).