10312. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точки H
и O
— его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к BH
пересекает стороны AB
и BC
в точках A_{1}
и C_{1}
. Докажите, что OB
— биссектриса угла A_{1}OC_{1}
.
Решение. Поскольку
\angle HBC=\angle ABO=90^{\circ}-\angle C
(см. задачу 20), равнобедренные треугольники HBC_{1}
и ABO
подобны, поэтому
\angle OBC_{1}=\angle HBC+\angle OBH=\angle ABO+\angle OBH~\mbox{и}~\frac{BC_{1}}{OB}=\frac{BH}{AB}.
Значит, треугольники OBC_{1}
и ABH
также подобны. Тогда
\angle C_{1}OB=\angle HAB=90^{\circ}-\angle B.
Аналогично
\angle A_{1}OB=\angle HCB=90^{\circ}-\angle B.
Следовательно,
\angle C_{1}OB=\angle A_{1}OB.
Автор: Соколов А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2017, XIII, финальный тур, № 2, 8 класс