10334. Центр окружности \omega_{2}
лежит на окружности \omega_{1}
. Из произвольной точки X
окружности \omega_{1}
проведены касательные XP
и XQ
к окружности \omega_{2}
(P
и Q
— точки касания), которые повторно пересекают \omega_{1}
в точках R
и S
. Докажите, что прямая PQ
проходит через середину отрезка RS
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности \omega_{2}
. Тогда XO
— биссектриса угла PXQ
, а четырёхугольник OXRS
вписанный, то
\angle ORS=\angle OXP~\mbox{и}~\angle ORS=\angle OXS=\angle OXP,
поэтому треугольник ROS
равнобедренный, OR=OS
. Прямоугольные треугольники OPR
и OQS
равны по катету и гипотенузе, значит, PR=QS
.
Пусть E
и F
— проекции точек R
и S
на прямую PQ
. Поскольку \angle XPQ=\angle XQP
, то
RE=PR\sin\angle XPQ=QS\sin\angle XQP=QS\sin\angle SQF=SF.
Следовательно, точки R
и S
равноудалены от прямой PQ
, что равносильно утверждению задачи.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности \omega_{2}
. Поскольку XO
— биссектриса угла PXQ
, то O
— середина дуги RS
. Значит середина K
отрезка RS
— это проекция точки O
на прямую RS
. Точки P
, Q
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
описанной окружности треугольника RXS
на прямые, содержащие стороны этого треугольника. Следовательно, эти точки лежат на одной прямой — прямой Симсона точки O
(см. задачу 83).
Автор: Нилов Ф. К.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 5, 9 класс