10337. В треугольнике ABC
точки I
и I_{a}
— центры вписанной и вневписанной окружностей, A'
точка описанной окружности, диаметрально противоположная вершине A
, A_{1}
— основание высоты. Докажите, что \angle IA'I_{a}=\angle IA_{1}I_{a}
.
Решение. Заметим, что точки A
, I
и I_{a}
лежат на биссектрисе угла BAC
. Поскольку
\angle A_{1}AB=\angle CAA'~\mbox{и}~\angle ACA'=90^{\circ}
(см. задачу 20), треугольники ACA'
и AA_{1}B
подобны. Следовательно, \frac{AB}{AA'}=\frac{AA_{1}}{AC}
, или AA_{1}\cdot AA'=AB\cdot AC
. С другой стороны, так как \angle ICI_{a}=90^{\circ}
, а CII_{a}
— внешний угол треугольника AIC
, то
\angle AI_{a}C=\angle II_{a}C=90^{\circ}-\angle CII_{a}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A-\frac{1}{2}C=\frac{1}{2}\angle B=\angle ABI,
значит, треугольники AIB
и ACI_{a}
подобны по двум углам. Тогда \frac{AI}{AC}=\frac{AB}{AI_{a}}
, или AI\cdot AI_{a}=AB\cdot AC
.
Пусть точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно биссектрисы угла A
. Тогда A_{2}
лежит на AA'
и, как показано выше,
AA_{2}\cdot AA'=AA_{1}\cdot AA'=AI\cdot AI_{a}.
Значит, четырёхугольник IA_{2}A'I_{a}
вписанный (см. задачу 114). При этом из симметрии \angle IA_{2}I_{a}=\angle IA_{1}I_{a}
. Следовательно,
\angle IA'I_{a}=\angle IA_{2}I_{a}=\angle IA_{1}I_{a}.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 2, 10 класс