10341. Отрезок B_{1}C_{1}
, где точки B_{1}
и C_{1}
лежат на лучах AC
и AB
соответственно, называют антипараллельным отрезку BC
, если \angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC
и \angle AC_{1}B_{1}=\angle ACB
.
а) Докажите, что симедиана AS
треугольника ABC
делит пополам любой отрезок B_{1}C_{1}
, антипараллельный BC
.
б) Докажите, что если симедиана AS
треугольника ABC
делит пополам отрезок B_{1}C_{1}
, то этот отрезок антипараллелен стороне BC
.
Решение. а) Пусть AM
— медиана треугольника ABC
. При симметрии относительно биссектрисы угла A
луч AB
переходит в луч AC
, а луч AM
— в луч AS
. Если при этом точка B_{1}
переходит в B_{2}
, а точка C_{1}
— в C_{2}
, то угол AB_{2}C_{2}
переходит в угол AB_{1}C_{1}
. Значит,
\angle AB_{2}C_{2}=\angle AB_{1}C_{1}=\angle ABC.
Следовательно, B_{2}C_{2}\parallel BC
.
Пусть K
— точка пересечения симедианы AS
с отрезком B_{1}C_{1}
. При симметрии относительно биссектрисы угла A
точка K
переходит в точку L
пересечения медианы AM
и отрезка B_{2}C_{2}
, а так как B_{2}C_{2}\parallel BC
, то L
— середина B_{2}C_{2}
(см. задачу 2607). Из симметрии следует, что K
— середина отрезка B_{1}C_{1}
.
б) При гомотетии с центром A
, переводящей середину K
отрезка B_{1}C_{1}
в точку S
, отрезок BC
переходит в отрезок с концами на лучах AC
и AB
, параллельный B_{1}C_{1}
. При этом точка S
, середина этого отрезка, — центр параллелограмма ADEF
, где D
, E
и F
— точки на лучах AB
, AS
и AC
соответственно, и AE=2AS
. Отрезок B_{1}C_{1}
параллелен диагонали DF
этого параллелограмма, значит, его направление однозначно определено. Тогда утверждение следует из пункта а).
Примечание. 1. Из а) и единственности середины отрезка следует, что если луч AX
делит пополам какой-нибудь отрезок, антипараллельный стороне BC
, то этот луч содержит симедиану AS
треугольника ABC
.
2. См. также статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.