10359. Дан шестиугольник ABCDEF
, в котором AB=BC
, CD=DE
, EF=FA
, а углы A
и C
— прямые. Докажите, что прямые FD
и BE
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Известно, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344).
Рассмотрим четырёхугольник BDEF
(рис. 1). Из прямоугольных треугольников BCD
и ABF
по теореме Пифагора получаем, что
BD^{2}+EF^{2}=BC^{2}+CD^{2}+EF^{2}=
=AB^{2}+DE^{2}+AF^{2}=BF^{2}+DE^{2}.
Следовательно, FD\perp BE
.
Второй способ. Рассмотрим окружности с центрами D
и F
и радиусами DC
и EF
соответственно (рис. 2). Тогда BA=BC
— касательные к этим окружностям, а точка E
принадлежит обеим окружностям. Значит, прямая BE
— их радикальная ось (см. задачу 6392), и следовательно, она перпендикулярна линии центров.