10365. Дан произвольный треугольник ABC
. Постройте прямую, проходящую через вершину B
и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.
Решение. Пусть BD
— искомая прямая, O_{1}
, O_{2}
и I
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABD
, BCD
и ABC
(рис. 1). Тогда точка O_{1}
лежит на отрезке AI
, O_{2}
— на отрезке CI
, O_{1}O_{2}\parallel AC
и \angle O_{1}BO_{2}=\frac{1}{2}\angle B
. Отсюда вытекает следующее построение.
Построим дугу, из точек которой отрезок AC
виден под углом, равным углу \frac{1}{2}\angle B
(см. задачу 2889), и найдём точку P
её пересечения с лучом IB
. Прямые, проходящие через точку B
и параллельные PA
и PC
, пересекают IA
и IC
соответственно в точках O_{1}
и O_{2}
.
Действительно, треугольники PAC
и BO_{1}O_{2}
гомотетичны с центром I
, следовательно, \angle O_{1}BO_{2}=\frac{1}{2}\angle B
. Искомая прямая симметрична BA
относительно BO_{1}
. Пусть D
— точка пересечения этой прямой со стороной AC
. Тогда прямая BD
симметрична BC
относительно BO_{2}
. Значит, BO_{1}
и BO_{2}
— биссектрисы углов ABD
и CBD
соответственно, а так как AO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов соответственно BAD
и BCD
, то O_{1}
и O_{2}
— точки пересечения биссектрис, т. е. центры вписанных окружностей треугольников ABD
и CBD
. Поскольку O_{1}O_{2}\parallel AC
(из гомотетии), радиусы этих окружностей равны.
Задача всегда имеет решение, причём единственное.