10366. На сторонах треугольника ABC
во внешнюю сторону построены правильные треугольники ABC_{1}
, BCA_{1}
, CAB_{1}
. На отрезке A_{1}B_{1}
во внешнюю сторону треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
построен правильный треугольник A_{1}B_{1}C_{2}
. Докажите, что C
— середина отрезка C_{1}C_{2}
.
Решение. Первый способ. Поскольку
AB=AC_{1},~AB_{1}=AC,~\angle BAB_{1}=60^{\circ}+\angle BAC=\angle C_{1}AC,
треугольники ABB_{1}
и AC_{1}C
равны по двум сторонам и углу между ними. Аналогично доказывается равенство треугольников A_{1}BB_{1}
и CA_{1}C_{2}
. Следовательно, CC_{1}=BB_{1}=CC_{2}
. Осталось доказать, что точки C
, C_{1}
и C_{2}
лежат на одной прямой.
Покажем, что
\angle C_{1}CB+\angle BCA_{1}+\angle A_{1}CC_{2}=180^{\circ}.
Заметим, что \angle BCA_{1}=60^{\circ}
. Кроме того,
\angle A_{1}CC_{2}=\angle A_{1}BB_{1}=60^{\circ}+\angle CBB_{1}=
=60^{\circ}+\angle CBA-\angle ABB_{1}=\angle C_{1}BC-\angle ABB_{1}=\angle C_{1}BC-\angle AC_{1}C,
поэтому
\angle C_{1}CB+\angle BCA_{1}+\angle A_{1}CC_{2}=\angle C_{1}CB+60^{\circ}-\angle AC_{1}C+\angle C_{1}BC=
=\angle C_{1}CB+\angle CC_{1}B+\angle C_{1}BC=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Второй способ. Рассмотрим композицию поворота с центром A
, переводящего точку C_{1}
в B
, и поворота с центром A_{1}
, переводящего точку B
в C
. Эта композиция переводит точку C_{1}
в C
, а C
— в C_{2}
. Поскольку углы поворотов противоположны, то их композиция является параллельным переносом (см. задачу 6710). Значит, C_{1}C=CC_{2}
. Следовательно, C
— середина отрезка C_{1}C_{2}
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2006, № 5, 8-9 классы