10367. Дан произвольный треугольник ABC
. Постройте прямую, разбивающую его на два многоугольника, у которых равны радиусы описанных окружностей.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, ABC
— его наименьший угол. Проведём лучи AK
и CM
так, чтобы
\angle BAK=\angle BCM=\angle ABC=\alpha
(рис. 1). При этом, точки M
и K
лежат на сторонах треугольника. Прямая MK
— искомая. Действительно, четырёхугольник AMKC
вписанный, так как \angle MAK=\angle MCK
(см. задачу 12). По теореме синусов радиус описанной около него окружности равен \frac{MK}{2\sin\angle MAK}=\frac{MK}{2\sin\alpha}
. Таким же будет и радиус окружности, описанной вокруг треугольника MBK
.
Если треугольник неравнобедренный, то решение единственное. Если треугольник равнобедренный, то решений бесконечно много. Действительно, пусть в данном треугольнике AB=BC
(рис. 2). Проведём прямую BD
, где D
— произвольная внутренняя точка отрезка AC
. Поскольку \sin\angle BDA=\sin\angle BDC
, радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD
и BCD
, равны.