10380. Восстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.
Решение. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC
. Точки B_{1}
и C_{1}
— середины сторон AC
и AB
соответственно, H
— ортоцентр.
На прямой B_{1}C_{1}
отметим точки B'
и C'
так, что B_{1}C_{1}=C_{1}B'=B_{1}C'
(рис. 1). Тогда B_{1}B'BC
и C_{1}BCC'
— параллелограммы. Кроме того, \angle B'BH=\angle C'CH=90^{\circ}
. Следовательно, точка B
лежит на окружности \omega_{1}
, построенной на отрезке B'H
как на диаметре, и точка C
лежит на окружности \omega_{2}
, построенной на отрезке C'H
как на диаметре.
Далее возможны два способа построения.
Первый способ. Пусть \omega_{1}'
— окружность, симметричная \omega_{1}
относительно точки C_{1}
, \omega_{2}'
— окружность, симметричная \omega_{2}
относительно точки B_{1}
(рис. 2). Поскольку B_{1}
и C_{1}
— середины отрезков AC
и BC
, то окружности \omega_{1}'
и \omega_{2}'
проходят через точку A
. Дальнейшее построение очевидно.
Второй способ. Пусть B_{2}
и C_{2}
— точки, симметричные ортоцентру H
относительно точек B_{1}
и C_{1}
соответственно (рис. 3). Известно, что точка C_{2}
принадлежит описанной окружности треугольника ABC
и диаметрально противоположна точке C
, а точка B_{2}
также принадлежит описанной окружности треугольника ABC
и диаметрально противоположна точке B
(см. задачу 6300).
Отрезок CC_{2}
— диаметр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому C_{2}B\perp BC
, а так как B_{1}C_{1}\parallel BC
(как средняя линия треугольника ABC
), то C_{2}B\perp B_{1}C_{1}
. Аналогично, B_{2}C\perp B_{1}C_{1}
. Следовательно, B
— точка пересечения \omega_{1}
и прямой, проходящей через точку C_{2}
перпендикулярно B'C'
. Аналогично, C
— точка пересечения окружности \omega_{2}
и прямой, проходящей через точку B_{2}
перпендикулярно B'C'
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2008, № 5, 8-9 классы