6300. Докажите, что образ ортоцентра треугольника при симметрии относительно середины стороны, лежит на описанной окружности треугольника.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, L
— середина стороны AC
, O
— центр описанной окружности, L'
— точка пересечения прямых BO
и HL
.
Поскольку расстояние от ортоцентра треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине (см. задачу 1257), OL=\frac{1}{2}BH
, а так как OL\parallel BH
, то OL
— средняя линия треугольника BHL'
. Значит, O
— середина отрезка BL'
. Следовательно, BL'
— диаметр окружности, т. е. точка L'
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
