10383. Фиксированы две окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
, одна их внешняя касательная l
и одна их внутренняя касательная m
. На прямой m
выбирается точка X
, а на прямой l
строятся точки Y
и Z
так, что XY
и XZ
касаются окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
соответственно, а треугольник XYZ
содержит окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ
, лежат на одной прямой.
Решение. Докажем, что точка S
касания окружности, вписанной в треугольник XYZ
, со стороной YZ
не зависит от выбора точки X
. Пусть L
— точка пересечения прямых l
и m
, D
и K
— точки касания вписанных окружностей треугольников XYL
и XZL
со сторонами YL
и ZL
соответственно. Заметим, что точки L
, D
и K
фиксированы. Докажем, что фиксирована длина отрезка DS
.
В решении будем несколько раз использовать известный факт: если окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AC
в точке B_{1}
, то AB_{1}=p_{ABC}-BC
, где p_{ABC}
— полупериметр треугольника ABC
(см. задачу 219).
Итак,
DS=YS-YD=(p_{XYZ}-XZ)-(p_{XYL}-XL)=
=(p_{XYZ}-p_{XYL})+(XL-XZ).
Преобразуем разность полупериметров отдельно:
p_{XYZ}-p_{XYL}=\frac{1}{2}(XY+XZ+YZ-XY-XL-YL)=
=\frac{1}{2}(XZ+(YL+ZL)-XL-YL)=
=\frac{1}{2}(XZ+ZL-XL)=\frac{1}{2}(2p_{XZL}-2XL)=p_{XZL}-XL.
Тогда
(p_{XYZ}-p_{XYL})+(XL-XZ)=p_{XZL}-XL+(XL-XZ)=p_{XZL}-XZ=LK.
Итак, DS=LK
, причём точки L
и K
фиксированы. Значит, фиксирована точка S
, а значит, центры окружностей, вписанных в треугольник XYZ
, лежат на прямой, проходящей через S
и перпендикулярной YZ
.