10394. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Прямая a
проходит через середину высоты треугольника, опущенной из вершины A
, и параллельна OA
. Аналогично определяются прямые b
и c
. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— высоты треугольника (рис. 1). Тогда AO\perp B_{1}C_{1}
(см. задачу 480). Далее можно рассуждать различными способами.
Первый способ. Прямые a'
, b'
, c'
, проведённые через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
параллельно соответственно OA
, OB
, OC
, являются высотами треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
; обозначим точку их пересечения через H'
(рис. 2).
Пусть P
— середина отрезка OH'
. Прямая, параллельная AO
, проходящая через P
, делит пополам любой отрезок с концами на параллельных прямых AO
и a'
, в частности проходит через середину отрезка AA_{1}
, т. е. совпадает с прямой a
. Таким образом, a
проходит через точку P
. Аналогично, прямые b
и c
проходят через точку P
.
Второй способ. Рассмотрим треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
с вершинами в серединах отрезков, соединяющих центр описанной окружности с основаниями соответствующих высот (рис. 3). Тогда B_{2}C_{2}
— средняя линия треугольника OC_{1}B_{1}
и потому параллельна прямой B_{1}C_{1}
. С другой стороны, A_{0}A_{2}
— средняя линия треугольника AA_{1}O
(A_{0}
, B_{0}
, C_{0}
— середины высот), а значит, параллельна AO
, т. е. совпадает с данной в условии прямой a
и является высотой треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
, опущенной из вершины A_{2}
.
Аналогично, прямые b
и c
будут двумя другими высотами рассматриваемого треугольника. Поскольку высоты треугольника пересекаются в одной точке, наше утверждение доказано.
Примечание. Рассмотрим окружность Тэйлора (рис. 4), т. е., окружность, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из оснований высот треугольника на прямые, содержащие пары остальных сторон (подробнее см. Дмитрий Ефремов «Новая геометрия треугольника», а также задачу 4782).
Докажем, что искомая точка — центр окружности Тэйлора. Рассмотрим хорду этой окружности B_{3}C_{3}
, соединяющую основания перпендикуляров, опущенных на стороны из точки A_{1}
— основания соответствующей высоты. Заметим, что серединный перпендикуляр к этой хорде проходит через центр окружности Тэйлора T
. С другой стороны, он проходит через точку A_{0}
— середину высоты AA_{1}
, поскольку точка эта есть центр окружности, описанной около четырёхугольника AC_{3}A_{1}B_{3}
, образованного двумя прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой AA_{1}
, и B_{3}C_{3}
— также хорда и этой окружности. Остаётся только заметить, что прямые B_{1}C_{1}
и B_{3}C_{3}
параллельны (получаются одна из другой соответствующей гомотетией с вершиной A
и коэффициентом k=\frac{AH}{AA_{1}}
). Поэтому рассмотренный перпендикуляр совпадает с прямой a
. Аналогично для двух других прямых.