10395. Биссектриса угла B
и биссектриса внешнего угла D
прямоугольника ABCD
пересекают сторону AD
и прямую AB
в точках M
и K
соответственно. Докажите, что отрезок MK
равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.
Решение. Заметим, что
\angle ABM=\angle AMB=\angle ADK=\angle AKD=45^{\circ}
Тогда AB=AM
, AD=AK
. Далее можно рассуждать различными способами.
Первый способ. Прямоугольные треугольники BAD
и MAK
равны по двум катетам, откуда следует, что BD=MK
. Также из равенства
\angle ABM=\angle AKD=45^{\circ}
получим, что BM\perp DK
. Поскольку высоты треугольника BKD
пересекаются в одной точке, то KM
— третья высота треугольника ABD
, т. е. KM\perp BD
.
Второй способ. При повороте вокруг точки A
на 90^{\circ}
треугольник AMK
переходит в треугольник ABD
, следовательно, BD=MK
и BD\perp MK
.
Примечание. Отметим, что в этой задаче возникает следующая известная геометрическая конструкция. Если в четырёхугольнике ABCD
углы A
, C
и D
равны по 45^\circ
, то его диагонали AC
и BD
равны и перпендикулярны (см. задачу 4272).