4272. Дан невыпуклый несамопересекающийся четырёхугольник, который имеет три внутренних угла по 45^{\circ}
. Докажите, что середины его сторон лежат в вершинах квадрата.
Решение. Решение Н.Васильева. Пусть A
, B
и C
— последовательные вершины четырёхугольника ABCD
, внутренние углы при которых равны 45^{\circ}
. Обозначим через P
точку пересечения прямых AD
и BC
.
Докажем, что отрезки BD
и AC
равны и перпендикулярны. Треугольник ABP
— прямоугольный и равнобедренный, так как его углы при вершинах A
и B
равны по 45^{\circ}
. Значит, AP=BP
и \angle BPA=90^{\circ}
. Треугольник DPC
— также равнобедренный и прямоугольный, поэтому DP=PC
.
Прямоугольные треугольники APC
и BPD
равны по двум катетам. Один из них получается из другого поворотом на угол 90^{\circ}
относительно точки P
. Следовательно, отрезки BD
и AC
равны и перпендикулярны.
Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, противоположные стороны которого соответственно параллельны диагоналям четырёхугольника и равны их половинам (см. задачу 1204). Диагонали данного четырёхугольника равны и перпендикулярны. Следовательно, четырёхугольник с вершинами в серединах его сторон — квадрат.
