10399. AD
и BE
— высоты треугольника ABC
. Оказалось, что точка C'
, симметричная вершине C
относительно середины отрезка DE
, лежит на стороне AB
. Докажите, что AB
— касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'
.
Решение. Первый способ. Четырёхугольник ABDE
вписанный (рис. 1), поэтому \angle CDE=\angle CAB
(см. задачу 141). Диагонали четырёхугольника CDC'E
точкой пересечения делятся пополам, поэтому CDC'E
— параллелограмм. Прямые C'D
и CE
параллельны, поэтому \angle CAB=\angle DC'B
, а так как C'E\parallel CD
, то \angle CDE=\angle C'ED
. Значит, \angle C'ED=\angle DC'B
, откуда и следует утверждение задачи (см. задачу 144).
Второй способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда вокруг четырёхугольника CDHE
можно описать окружность, причём CH
— её диаметр (рис. 2). Касательная к этой окружности в точке C
перпендикулярна CH
, а значит, параллельна AB
. Треугольники DEC'
и ECD
симметричны относительно середины DE
, значит, симметричны и их описанные окружности, а также симметричны касательные, проведённые к этим окружностям в симметричных точках C'
и C
. Поскольку центрально симметричные прямые параллельны, касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'
и проходящая через точку C'
, совпадает с прямой AB
.
Автор: Блинков А. Д.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2011, № 7, 10-11 классы