10406. В треугольнике ABC
проведены высота BH
и медианы AM
и CK
. Докажите, что треугольники KHM
и ABC
подобны.
Решение. Первый способ. Из условия задачи, следует, что MK
— средняя линия треугольника ABC
, значит, MK\parallel AC
и MK=\frac{1}{2}AC
. Отрезок HM
— медиана прямоугольного треугольника BHC
, поэтому HM=\frac{1}{2}BC
(см. задачу 1109). Кроме того, так как HM=MC
, то
\angle ACB=\angle MHC=\angle HMK.
Тогда треугольники KHM
и ABC
подобны, так как \frac{KM}{AC}=\frac{HM}{BC}
и равны углы между этими сторонами.
(Вместо равенства углов можно использовать, что HK
— медиана прямоугольного треугольника ABH
, т. е. HK=\frac{1}{2}AB
. Тогда треугольники подобны по трём сторонам.)
Второй способ. Треугольники KBM
и KHM
равны, так как они симметричны относительно прямой KM
. Треугольник KBM
подобен треугольнику ABC
, следовательно, треугольник KBM
подобен треугольнику ABC
.