10418. В треугольнике ABC
биссектриса AK
перпендикулярна медиане CL
. Докажите, что в треугольнике BKL
также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Решение. Докажем, что биссектриса KN
и медиана LM
треугольника BKL
перпендикулярны.
Пусть E
— точка пересечения AK
и CL
. В треугольнике ACL
биссектриса AE
является высотой, следовательно, этот треугольник равнобедренный. Значит, LE=CE
и CA=LA=LB
. Аналогично, равнобедренным является треугольник CKL
(KE
— высота и медиана). Значит, KE
— биссектриса угла LKC
.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому KN\perp AK
. Кроме того, LM
— средняя линия треугольника ABK
, поэтому LM\parallel AK
. Следовательно, LM\perp KN
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что биссектриса и медиана треугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна сторона треугольника вдвое больше другой (см. задачу 1127).
Используя этот факт и свойство биссектрисы, можно получить, что в треугольнике BKL
сторона BK
вдвое больше, чем LK
, что даёт другой способ решения данной задачи.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2013, № 1, 8-9 классы