10425. Внутри угла AOD
проведены лучи OB
и OC
, причём \angle AOB=\angle COD
. В углы AOB
и COD
вписаны непересекающиеся окружности. Докажите, что точка пересечения общих внутренних касательных к этим окружностям лежит на биссектрисе угла AOD
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей с радиусами R_{1}
и R_{2}
соответственно, L
— точка пересечения касательных общих внутренних касательных к данным окружностям. Поскольку углы AOB
и COD
равны и точка L
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
, достаточно доказать, что OL
— биссектриса треугольника O_{1}OO_{2}
.
Заметим, что окружности гомотетичны с центром L
, значит, \frac{O_{1}L}{O_{2}L}=\frac{R_{1}}{R_{2}}
. С другой стороны, из подобия прямоугольных треугольников с гипотенузами OO_{1}
и OO_{2}
следует, что \frac{OO_{1}}{OO_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}
. Тогда \frac{O_{1}L}{O_{2}L}=\frac{OO_{1}}{OO_{2}}
, откуда следует, что OL
— биссектриса треугольника O_{1}OO_{2}
(см. задачу 1510).
Примечание. Отметим, что если рассматривать не внутренние касательные, а внешние, то точка их пересечения будет лежать на биссектрисе соответствующего внешнего угла, т. е. на прямой, перпендикулярной OL
.