10429. Прямая, проходящая через середину M
гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
, перпендикулярна CM
и пересекает катет AC
в точке K
. При этом AK:KC=1:2
.
а) Докажите, что \angle BAC=30^{\circ}
.
б) Пусть прямые MK
и BC
пересекаются в точке P
, а прямые AP
и BK
— в точке Q
. Найдите KQ
, если BC=\sqrt{21}
.
Ответ. 14.
Решение. а) Пусть E
— середина KC
. Тогда
AK=KE=CE,~AM=\frac{1}{2}AB=CM,
\angle MAK=\angle MAC=\angle ACM=\angle ECM,
поэтому треугольники AKM
и CEM
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle AME=\angle AMK+\angle KME=\angle CME+\angle KME=90^{\circ},
т. е. треугольник AME
прямоугольный.
С другой стороны, ME
— медиана прямоугольного треугольника CMK
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
ME=\frac{1}{2}CK=AK=\frac{1}{2}AE.
Следовательно, \angle A=30^{\circ}
.
б) Из прямоугольных треугольников ABC
и KBC
находим, что
AC=BC\ctg30^{\circ}=\sqrt{21}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{7},~
BK=\sqrt{BC^{2}+\left(\frac{2}{3}AC\right)^{2}}=\sqrt{21+28}=7.
Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть T
и D
— точки пересечения этой прямой с прямыми MK
и BK
соответственно.
Из равенства треугольников AMT
и BMP
получаем, что AT=BP
, а из подобия треугольников CKP
и AKT
— CP=2AT=2BP
. Значит, B
— середина CP
. Тогда D
— середина AT
(см. задачу 2607), поэтому AD
— средняя линия треугольника BPQ
, и
QD=DB=DK+KB=\frac{1}{2}BK+BK=\frac{3}{2}BK=\frac{21}{2}.
Следовательно,
QK=QD+DK=\frac{21}{2}+\frac{7}{2}=14.