10430. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=45^{\circ}
, BH
— высота, точка K
лежит на стороне AC
, причём BC=CK
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK
совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH
.
Решение. Поскольку треугольник BCK
равнобедренный, серединный перпендикуляр к стороне BK
совпадает с биссектрисой угла ACB
. Треугольник AHB
также равнобедренный, поэтому серединный перпендикуляр к стороне AB
совпадает с биссектрисой угла AHB
. Следовательно, центр описанной окружности треугольника ABK
совпадает с точкой пересечения биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника BCH
, т. е. с центром его вневписанной окружности (см. задачу 1192).