10433. Отрезок AD
— диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Через ортоцентр треугольника провели прямую, параллельную стороне BC
, которая пересекает стороны AB
и AC
в точках E
и F
соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEF
в два раза больше стороны BC
.
Решение. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, X
и Y
— точки пересечения прямых BD
и CD
с прямой EF
Заметим, что углы ABD
и ACD
прямые. Поэтому достаточно доказать, что BC
— средняя линия треугольника XYD
. Действительно, тогда XB=DB
, т. е. треугольник XED
равнобедренный, откуда XE=DE
. Аналогично, YF=DF
. Следовательно,
XY=XE+EF+FY=DE+EF+DF=2BC.
Итак, докажем, что BC
— средняя линия. Заметим, что BHCD
— параллелограмм (BD
и CH
перпендикулярны AB
, а BH
и CD
перпендикулярны AC
). Следовательно, отрезок DH
делится стороной BC
пополам, а так как BC\parallel AD
, то по теореме Фалеса B
и C
— середины DX
и DY
. Что и требовалось доказать.
Примечание. В заключительной части решения было показано, что точка, симметричная H
относительно середины стороны BC
, лежит на описанной окружности треугольника ABC
и диаметрально противоположна точке A
(см. задачу 6300).
Автор: Прокопенко Д. В.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2014, № 5, 8-9 классы
Источник: Журнал «Квант». — 2014, № 3, с. 19, М2345
Источник: Задачник «Кванта». — М2345